個人的に今回はやや難しかったように思えます。「フェルマーの最終定理って三平方定理の累乗の部分が3以上は存在しないよ、って定理でしょ?」くらいの理解はしていまして、志村‐谷山‐ヴェイユ予想って名前くらいは聞いたことがあるな、と思っていたのですが、その繋がりを知ることが出来ました。もちろん完全に理解したのではなく、なんとなく雰囲気を掴んだ程度ですが。。

今回は話を聞き入っているうちに、「今は何の作業中なんだっけ?」と迷子になってしまうことが多かったように思えます。心なしか、TVの受講生もそんなふうに見えました。

 いつものメモと、前回と前々回の記事です。

 

  • フェルマーの最終定理はラングランズプログラムに直結する。フェルマーの最終定理とはある関数によるもの。
  • n=2の場合はピタゴラスの定理の式と同じ。ピタゴラス数は無限に存在する。→ピタゴラスの定理 - Wikipedia
  • ディオファントスの算術という本を読んでいるときにピエールフェルマーがあるアイディアを思いついた。フェルマーはディオファントスのアイディアを一般化した。→アレクサンドリアのディオファントス - Wikipedia
  • フェルマーは"算術"の余白に「私は真に素晴らしい照明を思いついたが余白が小さすぎて書けない」って書いておいた。テストでこれやっちゃだめだよ。
  • フェルマーの最終定理は1995年に証明されたのだが、350年もかかったことになる。しかもそれはフェルマーの最終定理を直接証明したのではなく、志村‐谷山‐ヴェイユ予想を証明した。そこから発展してフェルマーの最終定理を導いた。
  • ”予想”とは「これは真実だと思うが証明ができていない状況」を指す。なので、フェルマーの"予想"と言った方が近いのだろうが、フェルマーに敬意を示して”定理”としている。
  • ラングランズプログラムは現在では"予想"である。そして志村‐谷山‐ヴェイユ予想は巨大な定理の特殊な場合と考えられる。
  • ここである考え方を紹介しよう。12を超えたら12を引く演算だ。時計算術だ。数学ではモジュロ演算ともいう。12で割り算して余りを考えればよい。これは12である必要はない。別の数を入れても同じことができる。
  • 数学で面白いことは素数の時計だ。素数は数の原子のようなものである。すべての整数は素数を使って作ることができる。すべての数は素数の掛け算で表現できる方程式の解は例えばpを法(法というのは余りのことです)とする解を見つけているのと同じである。
  • 今やることは素数を数えることだった
  • ある数論の問題は調和解析の数式で解くことができるという事実は新鮮な驚きを覚える。
  • 調和解析の式の係数が、我々が探していた数になる。これが志村‐谷山‐ヴェイユ予想が教えてくれる事実の一つである。ラングランズはこれを「混沌の中に秩序を見いだす」といった。複雑だった問題に、ソースコードのような物を発見したん
  • さて、数学の多くの分野で対称性が大きな役割を果たすことを説明した。今日は調和解析に対する対称性を考える。
  • 先ほどの調和解析は、モジュラー形式と呼ばれる。
  • 三角関数は対称性を持つ。2パイの整数倍ずらしても値が変わらないから。
  • このずらしても変化しないというのを直線ではなく単位円でも考えることができる、これがモジュラい形式。
  • ネットで志村‐谷山‐ヴェイユ予想で調べてもわかる
  • ソースコードで表現することができる。
  • 志村‐谷山‐ヴェイユ予想は世界の七不思議のようなものだと私にとってはそうだ。違いは外に出かけないということ。
  • どうしたらこんな革命的な発見ができたのか?不思議にずっと思っていた。
  • 志村‐谷山‐ヴェイユ予想に関わった人びのについて話そう。まずは谷山。谷山には数学的な洞察力があった。コンピュータは人間に追いついたといわれているが、数学の研究こそ直感やひらめきが必要なものだと言いたい。数学の場合はこういう直感的な発見がある。直感力が大事で、このような発見をするとき、普通とは違うなにか別な力が働くのだ。
  • 谷山の話には悲しい続きがある。谷山はこの発見の後に命を絶った、そのあと婚約者も命を絶った。これは悲劇的な側面でもあるが、人間的なとらえ方もある。

 志村‐谷山‐ヴェイユ予想ってこんな悲しい結末があったんですね。書籍だけ読んでても無味乾燥なわけですね。

プレゼンの途中で目的を確認しているので、多少は迷子になってもついていくことが出来たような気がします。これは参考になりました。

 あと気になったのは、数学の中でも分野を横断した発見をするには広く知らなければならないのかな?なんて思いました。

まぁ、そんな感じですかね~。

 

オマケなんですけど、プラネットマスという数学のサイトが結構面白いので、ついでに貼っておきます。

 

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