今日が最後です。前回までの記事はこれ。

そんで、今回のメモはこちら。

  •  これまでに登場したのは数論、数の研究だ。そして調和解析波やモジュラー形式などを紹介した。それから幾何学、対称性を見た。ラングランズプログラムとは異なる分野を統一しようとする試みだ。この一連の予想は50年の間に拡張されたものである。
  • 今回特に話をしたいのは、量子物理学とのつながりだ。数学とは全く異なる、物理学の世界ともつながりがありうる。
  • 対称性について思い出してみよう。対称性は一連の講義をつなぐ秘密の鍵だった。最初は雪の結晶やボトルの回転について述べた。幾何学や数論における対称性についても話した。そしてガロア群、調和解析の対称性、志村-谷山-ヴェイユ予想について話した。では量子物理学ではどのように対称性が現れるのか?
  • 原子からすべての物質ができていることをしっているね?そして原子核と電子も。陽子と中性子はさらに小さな粒子に分けられることが知られている。素粒子を見つけるには洗練されたマシンである大型ハドロン衝突型加速器を使う。国境をまたぐほど巨大なものでありスイスのジュネーブにある。この100億ドルもする機械はある発見をもたらした。ヒッグス粒子だ。標準理論に重要なものだ。
  • 加速器を用いて実験したら、あまりにたくさんの素粒子が版権された。一体誰がこんなにたくさんの粒子を注文したんだ、といった人もいた。ところが数学の群を使って説明することができたのだ。
  • その理論の発展にマレー・ゲルマンが貢献した。SU(3);3次特殊ユニタリ群という群を使ってハドロンの分類を行い、クォークの存在をアップ・ダウン・ストレンジというものがあることを理論で示した。
  • クォークは整数ではなく、分数の電荷を持つ。これまで一度も観測されていないためありえないとも考えられた。
  • 現在、陽子と中性子は3つのクォークから成り立っていることが分かっている。アップクォークとダウンクォークを含んでいる。
  • SU(3)という群が重要だ。解説しよう。我々は非常に重要な群を知っている。球の表面の回転の群だ。バスケットボールを持ってきて、ある軸を選んで回転させる。これがSO(3);3次特殊直交群だ。
  • 複素数は2乗するとマイナス1になる数を含んでいる。実は、数学者でさえも複素数を理解するのに何世紀もかかった。SU(3)は複素数を使った群だ。
  • ところでSU(3)からどうやってクォークが見つかったか?3から3つのクォークが見つかった。さらにあと3つのアップ、ダウン、ストレンジ、チャーム、トップ、ボトムを加えて6つになる。
  • 標準理論について話そう。様々なものがこれに基づいて見つかっている。さて、自然界の力には重力、電磁気力、弱い力、強い力がある。
  • 標準理論が重要だと考えているのは、それがゲージ理論だからだ。
  • 群の対称性に基づく力の性質を説明する。例えば電磁気力はユニタリ群U(1)という群を使っている。弱い力は二次特殊ユニタリ群SU(2)、強い力は三次特殊ユニタリ群SU(3)。
  • 電磁双対性について注目してほしい。ゲージ理論の間につながりがある。19世紀のマックスウェル方程式まで遡る。偏微分方程式だがエレガントでシンプルに見える。電場と磁場の間に対称性が存在する。
  • では他のゲージ理論にも電磁気力のような双対性があるのか?電磁気力はEとBを交換しても方程式は変わらなかった。ある群のゲージ理論は別のゲージ理論になる。それが、ラングランズ双対群と呼ばれるものだった。これによりラングランズプログラムとゲージ理論につながりがあると考えられた。
  • 数学と物理学がつながっている。2004年に決定的な出来事があった。オーガナイザーの一人としてフレンケル氏も加わった。数学者と物理学者が集まり、ひらめきを話し合った。アプローチは本当の探偵のようなものだ。物理学者であり、数学でも大きな功績がある京都賞も受賞したエドワード・ウィッテン氏もまたオーガナイザーだった。
  • 彼はあるアイデアがあった。それについて3日ほど話した。ビデオや音声はないが、ノートは取ってあって彼は正しかった。そして最初の学会誌の丸々一冊になるほど長い論文を書いた。そしてフレンケルさんを含む研究者たちが発展させた。
  • ヒントを示そうと思う。「三次方程式、y^2+y=x^3-x^2の素数pを法とする解の個数を数えよ」というものを前回示した。実数でも複素数でも解を求めることができる。同じ方程式の解を複素数でも求めることができることが重要である。
  • pを法とする場合はある調和解析の関数となるが、複素数の場合は、あるトーラスという幾何学の図形になる。それは分かれ道のようなものだ。
  • 素数を法をしたら数論となり、複素数なら幾何学になる。これこそがつながりだ。最高裁がある判決を出した。数式で特許を取ることはできない。
  • E=mc^2で特許は取れない。数学を共有することができ、それを奪うことはできない。研究をやめさせることはできない。最後に伝えたい言葉がある。アイザック・ニュートンの言葉だ。
  • 「私は浜辺で遊ぶ子供のようだった。浜辺ですべすべした小石や美しい貝殻を拾って喜んでいた。しかし私の目の前には真理の大海原が発見されることなく広がっていたのだ。」

 物理なので幾何とか微分方程式の話が中心かと思っていましたが。そうではなかったんですね~。

最後はかの有名な「巨人の肩の上に立つ」ってやつですね。

眠いのでここまで。

 

 

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